克雷西 发自 凹非寺

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赵宇飞高材生、哥伦比亚大学助理训导 Mehtaab Sawhney（索尼），又为数学界孝顺了一项病笃效果——

与牛津大学训导 Ben Green（格林）沿途，阐明了一项对于 素数分散的新章程。

要津是阐明顶用到了与 Gowers范数关连的时期，而Gowers范数一启动是拿来盘考等差数列的，看上去和素数章程风牛马不相及。

以致作家索尼我方也暗示， “行动一个‘局外东谈主’，险些弗成能判断出这些事情是关连的”。

是以，这项盘考不仅在素数界限是一项病笃职责，也揭开了高尔斯范数的应用潜能。

多伦多大学训导 John Friedlander评价说，索尼和格林的这项盘考标明高尔斯范数不错行动新界限的雄伟器用。

最早和陶哲轩一同将素数和Gowers范数讨论到沿途的数学家 Tamar Ziegler（ 都格勒） ，也对索尼和格林的盘考赐与了高度评价：

看到我前一段时候意想的东西有了出东谈主意想的新应用，让我以为很真谛。

看到我前一段时候意想的东西有了出东谈主意想的新应用，让我以为很真谛。

2018年，Friedlander和好意思国罗格斯大学的Iwaniec建议了“ 高斯素数猜想” （Gaussian primes conjecture）：

存在无尽多个素数p、q，使得p²+4q²亦然素数。

存在无尽多个素数p、q，使得p²+4q²亦然素数。

（Friedlander和Iwaniec的消亡不错追溯到上个世纪，1997年他们一同阐明了a²+b⁴不错构成多量个素数）

格林和索尼不仅阐明了这一猜想，还将其合手行到了更多的情况——

对于知足n≡0或n≡4(mod 6)的正整数n，均存在无尽多个素数p和q使得p²+nq²亦然素数。

对于知足n≡0或n≡4(mod 6)的正整数n，均存在无尽多个素数p和q使得p²+nq²亦然素数。

同期，格林和索尼还为这些素数的数目给出了渐近公式：

其中∧(n)是von Mangoldt函数，用于检测n是否为素数或素数的幂，N>1，W为权函数，κ_n是一个与n讨论的常数：

彰着，知足条目的素数数目弗成能通过平直野心获取。

于是，格林和索尼选拔先将要阐明的论断弱化，也便是先放宽一下经管条目——先将p和q的范围放宽到“毛糙素数”。

举个例子，若是咱们要找出1-200之间的“毛糙素数”，不错找到与2、3、5、7这几个小素数同期互素 （最大公因数为1）的数，这些数字即为1-200之间的“毛糙素数”。

（这些“毛糙素数”当中，推行上不是素数的数，算上1也唯有5个。）

格林和索尼阐明，通过对两个“毛糙素数”进行宽泛并将它们相加，不错获取无限多个素数。

接下来，他们就 需要阐明使用“毛糙素数”构建的承接，和使用确凿素数构建的承接“富足相似”。

其中就波及了最要津的时期冲突——Gowers范数的使用。

Gowers范数是一种测量函数“伪立时性”的器用，2001年由 数学家蒂莫西·高尔斯（Timothy Gowers）建议。

2018年，陶哲轩和塔玛尔·都格勒 （Tamar Ziegler）找到了一种将高尔斯范数与 “Type I和”与“Type II和”之间讨论起来的按次。

具体到这项盘考，作家领先通过 筛法将问题简化为“Type I和”（左）与“Type II和”（右）的揣摸：

筛法的中枢想想是，通过对这两类和的揣摸，过滤掉不知足素数条目的数，从而麇集分析那些可能使p²+nq²为素数的数值。

其中，“Type I和”聚焦于单个变量的局部分散，匡助治理低阶孝顺；“Type II和”则温煦双变量交互，治理高阶分散。

进不异子，作家将问题 振荡到二次虚数域Q(√(-n))，并哄骗数域中的联想主意、范数分散以及素联想的性质来盘考主张数列的素数性。

具体来说，在整数环Z中，盘考x²+ ny²是否为素数，等价于在Q(√(-n))平分析主联想x+y√(-n)是否为素联想。

接下来就轮到Gowers范数登场了。

为了收尾“Type II和”，论文界说了函数f(x)和f’(y)，其中∧_Cramér(x) 是von Mangoldt函数的低复杂度雷同：

作家通过引入消亡定理和逆定理，使用Gowers范数分析f(x)和f’(y)的伪立时性，从而阐明了它们在大部分情况下对二次型x²+ ny²的孝顺是可控的。

也便是说，作家通过筛法和Gowers范数，阐明了要津的中间收尾—— x, y的组合分散是均匀的。

最终的抒发式中，主项开端于数域中范数N(x+ y√(-n))的分散，哄骗数域的素联想定理，不错获取主项。

“Type I和”与“Type II和”带来的差错项，永别不错通过筛法分析和Gowers范数的均匀性假定来收尾。

两者结合后，差错项对主项的影响是次级的。

将主项和差错项结合，最终得出主张公式：

结缘于Gowers范数

这项盘考的两位作家——格林和索尼，提及来亦然颇有因缘。

格林是 牛津大学数学训导、陶哲轩的恒久消亡者，同期已经英国皇家学会Fellow。

索尼一启动在宾夕法尼亚大学读野心计，然后在 2017年转到MIT主修数学，成为了赵宇飞的学生，之后又在赵宇飞部属读博，并于本年6月毕业。

本年头索尼成为了克莱盘考员，咫尺索尼在哥伦比亚大学担任教职。

让两东谈主走到沿途的，梗概恰是此次盘及第用到的Gowers范数。

Gowers范数是1998年菲尔兹奖得主、英国数学家蒂莫西·高尔斯 （Timothy Gowers）在阐明 塞迈雷迪定理时建议的。

塞迈雷迪定理与等差数列关连：

若一个整数集A具有正的当然密度，则对苟且的正整数k，都不错在A中找出一个包含k项的等差数列。

所谓具有朴直然密度，便是当n趋于无尽时，A与1,2,…,n这个数列的交麇集元素个数与n的比值大于0。

若一个整数集A具有正的当然密度，则对苟且的正整数k，都不错在A中找出一个包含k项的等差数列。

所谓具有朴直然密度，便是当n趋于无尽时，A与1,2,…,n这个数列的交麇集元素个数与n的比值大于0。

到了2017年， 陶哲轩和格林沿途给出了k=4时的新上界。

2022年，正在陶哲轩那处读研二的 James Leng（小冷）启动盘考起了高尔斯的表面，并引起了索尼和他的师弟 Ashwin Sah（小萨）的翔实。

最终，。

与此次索尼和格林的盘考不异，三东谈主在其中也 使用了Gowers范数的逆定理，况且这项逆定理的发现者恰是索尼、小冷和小萨。

趁便提一句，打从本科起，索尼和小萨便是互相的科研搭子，关系密切到索尼主页列出的70篇论文里，有60篇都带小萨的名字。

而导师赵宇飞在本科时对他俩的评价便是：

（MIT）的本科生盘考有着悠久的历史和传统，但在论文的质料和数目上，都够不上Ashwin Sah和Mehtaab Sawhney的水平。

（MIT）的本科生盘考有着悠久的历史和传统，但在论文的质料和数目上，都够不上Ashwin Sah和Mehtaab Sawhney的水平。

说回索尼本东谈主，本年七月，索尼和格林终于在爱丁堡的一次会议上会面。

索尼说我方一直极度欣悬赏林，并暗示格林20年前阐明的一项首创性效果恰是让他选拔这个主题的原因之一。

格林也对这位年青的数学家印象长远，称索尼是一位了得的数学家，并“以某种相貌知谈一切”。

于是，两东谈主决定消亡，并将视力聚焦在了此次的“高斯素数猜想”。

到牛津探询一周后，索尼和格林对其阐明有了想路，并于本年10月份发布了论文预印本。

尔后，两东谈主又接续消亡，建议并阐明了 Furstenberg-Sárközy定理的革命界限。

论文地址：

https://arxiv.org/abs/2410.04189

参考贯穿：

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